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Función matemática|Matemática. Apuntes|Funciones matemáticas

Función, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda| Relación – relación binaria|Análisis Matemático|Asociación

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B a → f(a)

donde A es el dominio (Variable independiente) de la función f; su primer conjunto, o conjunto de partida, y B es el codominio (Variable dependiente) de f; su segundo conjunto, o conjunto de llegada|Imagen|Conjunto imagen – Imagen e imagen inversa

Objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por el francés Alexis Claude Clairaut, y por el suizo Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

En 1837, el matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como: una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo.

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

{\displaystyle (a,b),\,(a,c)\in f\Rightarrow b=c}

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Dom}}(f)=\{a\in A:{\text{ Existe }}b{\text{ con }}(a,b)\in f\}\\&{\text{Im}}(f)=\{b\in B:{\text{ Existe }}a{\text{ con }}(a,b)\in f\}\end{aligned}}}

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de la matemática es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que:
1. G(f) ⊂ A × B
2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ G(f)
3. Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈ G(f), entonces b = c.

Con esta definición, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide. También se habla en ocasiones de funciones parciales – No Funciones, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominan totales. A las funciones parciales también se las llama correspondencias o relaciones unívocas.

Función elemental|Algunas funciones elementales

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de alguna de los siguientes conjuntos:

Conjunto de funciones polinómicas
Función exponencial
Funciones trigonométrica

Función algebraica

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Función cóncava

Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades similares a las de la multiplicación.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

$y=4x^{3}-x\;$

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:

Función constante: f(x)= a
Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado|Relación de linealidad|Proporcionalidad – Regla de tres|Matemática. Apuntes
Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

Funciones fracionales que son cocientes (división) entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:

$y={\frac {3x^{2}-4x+1}{x^{2}-1}}$

Función raíz

La función raíz n-ésima (léase «raíz ene-ésima») es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo: $y={\sqrt {x}}$

Si tenemos la función: $y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}$

la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que: $y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}\rightarrow \quad y={\sqrt {(x+1)^{2}}}\rightarrow \quad y=|x+1|$

con lo que obtenemos una función no irracional.

Función trascendente

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
Funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
Funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa
Función logarítmica
La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente, coeficientes y potencias.

Funciones no elementales. Funciones básicas especiales

Función indicatriz

Función escalonada

Función escalón unitario

Funciones de parte entera

Función unitaria de Heaviside

Funciones de Teoría de números

Función divisor

Función φ de Euler

Función primordial de conteo

Integral de funciones elementales

Función integral de logaritmo

Integral exponencial

Función error

Función especial

Las funciones especiales son funciones no elementales definidas ex professo para algunas aplicaciones particulares. Muchas de las funciones especiales son funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden de importancia práctica entre estas funciones se encuentran:

La clase de las funciones hipergeométricas.
Las funciones elípticas aparecidos por primera vez en conexión a varios problemas físicos relacionados con las oscilaciones del péndulo, aunque también aparecen en muchos otros contextos.
Las funciones de Bessel y funciones asociadas. Estas funciones aparecen por ejemplo en problemas de separación de variables de ecuaciones que contienen el operador laplaciano expresado en coordenadas cilíndricas.
Las funciones de Airy.
Las funciones de Whitaker.

Otras cuantas funciones aparecen como soluciones para problemas de cálculo integral:

La función de error
La integral senoidal

Sin embargo no todas las funciones especiales proceden del cálculo diferencial, algunas otras que proceden originalmente de otros contextos son:

Teoría de conjuntos|Sucesión matemática – Serie matemática (Leonhard Euler – Leonardo de Pisa)

Representación gráfica|Representación gráfica de una función

Correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano| Pares ordenados

–Ecuaciones de la forma: $y=f(x)$ |Ecuaciones en diferencias

-tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

${\begin{array}{c|rrrrrr}X&-2&-1&0&1&2&3\\\hline Y&0&1&2&3&4&5\\\end{array}}$

Las soluciones de ecuaciones diferenciales expresables en términos de funciones elementales frecuentemente no son ellas mismas funciones elementales.

-Pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),… (x, x+2)}

–gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Funciones con múltiples variables

Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A₁ y A₂, y se denota por A₁ × A₂. Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto N x N

Función real

Funciones parciales – No Funciones, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominan totales. A las funciones parciales también se las llama correspondencias o relaciones unívocas.

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Economía|Economics, R. Glenn Hubbard, Anthony Patrick O’brien y otros. Apuntes

Para representar una recta, sólo se necesitan dos puntos. Se logra por tabla de valores

↓

pendiente

Funciones cuadráticas

La representación gráfica tiene forma de parábola. Se necesitan más puntos.

Punto vértice. Hay que calcularlo

Simetría. No puede haber un valor de X que tenga varios valores de Y.

Bisectríz. La linea recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide en dos.

Simétrica impar: con respecto a la bisectríz del primer cuadrante.

Una función polinómica es par siempre que tenga:

-Exponente par y término independiente; el nro. solo se considera como el coeficiente de la X ej. 9 x²

Sin simetría, con coeficientes pares e impares.

Periodicidad

Creciente y decreciente. Cuando va aumentando la X → va aumentando tb. los valores de la Y.

Máximos y Mínimos.

-Máximos relativos y absolutos en toda la función

– Mínimos relativos y absolutos en toda la función.

Continuidad

Discontinuidad:

-Evitable, si es un punto el que la rompe.

-Salto finito

-Salto infinito.

Funciones Constantes

Cuando la pendiente es nula. Pendiente negativa. Sin pendiente. Negativa. De pendiente 0

Aplicaciones en espacios funcionales

Una aplicación T entre espacios funcionales es una «función» que aplica funciones de una determianda clase o espacio funcional dando como resultado una función de otra clase o espacio funcional:

$T:{\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}$

Desde el punto de vista matemático, muchos espacios funcionales pueden ser dotados de la estructura de espacio topológico o espacio normado, lo cual permite extender los conceptos de continuidad, acotación, etc. a aplicaciones entre espacios de funciones. Algunos ejemplos de transformaciones son: