Matemática Dinámica 2 de Leopoldo Varela y Juan A. Foncuberta. Apuntes

Figuras geométricas.

Rectángulo. Lados, diagonal

Rombo

Pentagrama (geometría) – Wikipedia, la enciclopedia libre

 

5. El número real

Intervalo.

Funciones, conceptos básicos

Puntos en el eje cartesiano

Sistema binario. Hablemos un poco de computadoras → Tecnologías Digitales. Apuntes

El sistema de escritura decimal de los números es un sistema posicional en el cual los números se escriben en función de las potencias de 10.

En el sistema binario los números se escriben en función de las potencias de 2.

 

6. Hay que tomar medidas

La Longitud, la cardinalidad, la masa, el área son todos ejemplos de funciones. En todos los casos es necesario elegir una unidad. (9. Sistema métrico decimal)

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Sistema métrico decimal. 7 de abril de 1795. En Argentina se adoptó por la ley nro. 52 de 1863. Sistema Internacional (9. Sistema métrico decimal)

Peso. El peso es una fuerza. Es la fuerza ejercida por la gravitación; por lo tanto está siempre dirigida hacia el centro de la Tierra. Ej. El peso de un satélite artificial varía en cada punto de su trayectoria; cuánto mas cerca está de la Tierra es mayor la intensidad de la fuerza de atracción.

 

7. Razones y Proporciones

Gráficos circulares. Gráficos de torta

 

8. La función área

De figuras como el triángulo, el trapecio.

Área y Perímetro.

 

10. Matemática para todos

Proporcionalidad. Las leyes de proporcionalidad, en general, se verifican dentro de ciertos límites

Correspondencia, directamente proporcional.

Se sabe que la luz recorre los 150 millones de kilómetros que nos separan del Sol en 8 minutos y 40 segundos.

Se le atribuye a Tales de Mileto (Siglo VI) el haber demostrado que las sombras que los cuerpos proyectan en un mismo instante son proporcionales a sus alturas respectivas.

Lectura de fórmulas

La proporcionalidad directa y la proporcionalidad inversa tiene mucha aplicación en el estudio de la física.

Vimos que:

f (x) = k x          f (x) = k/x

expresan respectivamente dichos tipos de proporcionalidad. Se acostumbra a escribir y = f (x) con lo que las fórmulas anteriores se transforman en y = kx  e y = k/x.

Según lo que hemos visto estas fórmulas están llenas de significados:

Si y = kx podemos leer “y es proporcional a x”, o “x es proporcional a y”, o “x e y son directamente proporcionales”, con lo que podemos asegurar, entre otras cosas:

  • Si se multiplica a x por un número, y resulta multiplicada por ese mismo número.
  • k es una constante, llamada constante de proporcionalidad o coeficiente de proporcionalidad
  • La representación gráfica es un conjunto de puntos alineados con el origen.

Análogamente, si y = k/x podemos leer “y es inversamente proporcional a x”, o bien “x es inversamente proporcional a y”, o también “x e y son inversamente proporcionales”.

En este caso:

  • Si se multiplica a x por un número, y resulta dividida por ese mismo número, y recíprocamente.
  • k es la constante de proporcionalidad
  • la representación de y = k/x es una hipérbola.

En Física encontrarás muchas fórmulas de estos tipos.

F = m a  La fuerza es proporcional a la aceleración

v = a t    La velocidad es proporcional a la aceleración.

p = k/v   La presión es inversamente proporcional al volumen.

En otras oportunidades encontrarás expresiones como las siguientes:

e = k t2   El espacio es proporcional al cuadrado del tiempo.

T = k √l   El período T es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud.

I = k/d2   La intensidad de iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

La ley de gravitación universal establece que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Ello se expresa mediante la fórmula: F = k  m1.m2/d2

Las constantes de proporcionalidad, los gráficos y los científicos

Así como en matemática estudiamos ciertas leyes que ligan a números o figuras, los físicos, economistas, químicos, psicólogos, investigan las leyes que vinculan los fenómenos de los que tratan sus respectivas disciplinas.

Una de las diferencias fundamentales estriba en que el matemático tiene cierta libertad para estipular las reglas de juego, mientras que los demás científicos tienen por tarea descubrir las leyes que rigen la Naturaleza.

Decía Galileo (1564 – 1642): “La filosofía se halla escrita en el amplio libro que tenemos abierto para siempre ante nuestros ojos, me refiero al universo, pero no puede ser leído hasta que no hayamos aprendido el lenguaje y nos hayamos familiarizado con los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una sola palabra”.

Por ello que la necesidad de descubrir esas leyes obliga a los científicos a idear y realizar experiencias que les permita expresarlas mediante fórmulas matemáticas. Estas experiencias  hace que algunas de sus labores sean: observar, medir, confeccionar tablas, gráficos, diagramas … ¡y saber mucha matemática!

 

11. Ángulos en la circunferencia

Un ángulo incluido en el plano de una circunferencia que tiene por vértice al centro de la misma se denomina ángulo central

Ángulo inscripto

Si en una circunferencia consideramos tres puntos A, B y C, cualquier ángulo convexo cuyo

vértice pertenezca al arco ACB y cuyos lados pasen uno por A y otro por B se llama ángulo inscripto en el arco ACB.

Ángulo semiinscripto

Todo ángulo semiinscripto en un arco de circunferencia es congruente con la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.

Arco capaz

Al arco ACB en el cual está inscripto el ángulo a se llama “arco capaz de a” con respecto al segmento AB. Un arco de circunferencia con extremos en A y B; por tanto debemos buscar el centro O de una circunferencia, O debe pertenecer a la mediatriz del segmento AB.

 

12. Interés simple y compuesto

Fórmula para calcular el interés simple

En el comercio y la banca se aceptan en general las siguientes reglas de juego:

  1. Si se multiplica el capital por a, el interés se multiplica por a
  2. Si se multiplica el período por b, el interés se multiplica por b.

Según estas reglas, el interés es directamente proporcional al capital y al número de períodos, es decir:

I=kCn

donde k es el coeficiente de proporcionalidad.

Se observa entonces que el coeficiente de proporcionalidad es el interés que produce una unidad monetaria en un período; por esta razón sustituimos k por i en la fórmula del interés. Obtenemos así:

I= iCn

I es el interés

C es el capital

i es el tanto por uno

n es el número de períodos

Intereses en cuentas sin condiciones de plazo

En ciertas cuentas de ahorro, el interés se paga sin condiciones sobre el plazo. Así, si colocamos $6000 al 8% anual, podemos retirar en cualquier momento el capital percibiendo intereses por el tiempo que estuvo invertido. Si, por ejemplo, el tiempo fue de 90 días, tendremos n= 1/4 (pues 90 días son la cuarta parte del año comercial de 360 días)

Por tanto:

I=Cin

I= 6000 . 0,08 . 1/4= $120

Intereses en cuentas a plazo fijo

En estas cuentas el capital debe permanecer invertido durante un plazo fijo, por ejemplo, 180 días. Si el capital es retirado antes se pierde todo derecho a intereses.

Cálculo del capital, la tasa y el número de períodos

La fórmula I=Cin permite calcular cualquiera de los factores a partir de tres datos.

Monto

Se denomina monto a la suma del capital más el interés.

Cálculo del capital a partir del monto. Por definición:

M=C+I

M=C+Cin

Interés compuesto

En general, si el inversor no retira los intereses, éstos se suman al capital inicial para que a su vez produzcan intereses.

Cuando esto sucede el interés se denomina compuesto. Entre las condiciones que ofrecen los bancos figura el período de capitalización; es decir, se indica el lapso al cabo del cual se suman los intereses al capital inicial.

 

13. Descuento Simple

En las operaciones comerciales suelen emplearse como medios de pago los documentos o pagares.

Valor actual o efectivo

Cálculo del valor nominal cuando se conoce el valor actual. El valor actual es igual a la diferencia entre el valor nominal y el descuento.

A=N-D

A veces, es necesario calcular el valor nominal a partir del valor actual.

Documentos comerciales equivalentes

Convenimos que: Dos documentos son equivalentes cuando tienen el mismo valor actual.

 

14. Repartición, mezclas y algunos otros problemas

Los problemas de repartos han dado origen a numerosos ejercicios de ingenio. Uno de los pueblos que se distinguió por este tipo de problemas fue el árabe, en parte porque su religión establece minuciosamente cómo deben efectuarse los repartos de herencia.

Leemos en el Corán: “De cuanto dejen vuestras esposas os corresponde la mitad, siempre y cuando ellas no tengan prole: pero si la tienen, sólo os corresponderá la cuarta parte, después de satisfechos legados y deudas. Toca a ellas la cuarta parte de cuanto  dejéis, si no tenéis prole; pero, si la tenéis sólo les corresponde el octavo de cuanto dejéis, después de satisfechos legados y deudas. Si un difunto, hombre o mujer, en estado de Kalala (sin ascendientes ni descendientes) fuese heredado, y tuviese un hermano o una hermana, recibirá cada uno de ellos una sexta parte; pero si son más, coheredarán la tercera parte, después de satisfacer legados y deudas, sin perjudicar a nadie.”

Repartición proporcional e inversa

Regla de compañía

Se refiere a los problemas de repartir ganancias ó pérdidas entre varios socios. Se pueden presentar varios casos:

  1. Que los socios hayan colocado capitales distintos durante un mismo tiempo
  2. Que los socios hayan colocado el mismo capital durante distintos lapsos
  3. Que los socios hayan colocado distintos capitales durante distintos tiempos.

Como se conviene en que las ganancias ó pérdidas se deben repartir en forma directamente proporcional a los capitales y a los tiempos, se trata de problemas de repartición proporcional directa.

Prorrateo

Mezcla

Sistema Monetario Argentino

Macroeconomía. Apuntes

Al organizarse nuestro país, la Constitución de 1853 estableció como una de las atribuciones del Congreso (art. 67, inc. 10): “Hacer sellar moneda, fijar su valor y el de las extranjeras y adoptar un sistema uniforme de pesas y medidas para toda la Nación”.

En 1947 el valor de la moneda se establecía de acuerdo con el oro que la Nación se comprometía a entregar a cambio del peso papel moneda. Después dicho valor surgiría de la comparación entre el poder adquisitivo del peso argentino y la moneda de otros países. Lo determina el Estado a través del Banco Central, habiéndose establecido dos tipos de paridades:

  • Una relativamente estable, correspondiente al Mercado Comercial de Cambios. El poder Ejecutivo Nacional periódicamente fija el valor del peso en relación con el dólar. De esta paridad entre peso y dólar surge la paridad con las monedas de los otros países.
  • Otra que fluctúa a diario y cuyo valor corresponde al Mercado Financiero de Cambios. Las equivalencias entre los diferentes valores las publican los diferentes periódicos.

2 comentarios en “Matemática Dinámica 2 de Leopoldo Varela y Juan A. Foncuberta. Apuntes

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